EE204 Gerenciamento de negócios para engenheiros e cientistas da computação (2024)

A regra de 72

Emfinança, a regra de 72, a regra de 70 e a regra de 69.3 se referem essencialmente ao mesmo método para estimar os tempos de duplicação paracrescimento exponencialou tempo de metade paradecaimento exponencial.Se você dividir o número fornecido pela taxa de crescimento esperada, expressa como uma porcentagem, a resposta será aproximadamente o número de períodos para dobrar a quantidade original.Por exemplo, se você investisse US $ 100 a 9% ao ano, seu investimento valeria US $ 200 após 8,0432 anos, usando um cálculo exato.A regra de 72 fornece 72/9 = 8 anos, que está próxima da resposta exata.VerValor temporal do dinheiro.O mesmo se aplica à deterioração exponencial.Assim, para determinar o tempo necessário para o valor do dinheiro pela metade devido a um dadotaxa de inflação, os financiadores simplesmente tomam a taxa de inflação atual (aproximadamente 3,5% até recentemente) e divide 70 por esse número.Assim, 70/3.5 daria 20. Isso significa que em 3,5%inflaçãoDeve levar 20 anos para o valor de um dólar pela metade.

O número 72 é uma aproximação melhor para a composição anual de juros a taxas típicas.Para composição contínualn(2), que é de cerca de 69,3%, fornecerá resultados precisos para qualquer taxa.A composição diária é próxima o suficiente para a composição contínua para a maioria dos propósitos, portanto, 69.3 ou 70 devem ser usados.O valor 72 também é uma escolha conveniente, pois tem tantos pequenosdivisores: 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12.

Derivação

Para composição periódicavalor futuroÉ dado por

onde PV é ovalor presente, T é o número de períodos de tempo e R significa a taxa de desconto por período de tempo.

Agora, suponha que o dinheiro tenha dobrado, depois FV = 2pv.Substituindo isso na fórmula acima e cancelando o fator PV em ambos os lados rendem

Esta equação é facilmente resolvida para t:

Se r é pequeno, então Ln (1+r) é igual a R (este é o primeiro termo noSérie Taylor).Juntamente com a aproximação Ln 2 ≈ 0,693147, isso dá

Erros e ajustes

Portanto, para taxas muito pequenas, 69,3 seriam mais precisos que 72. Para taxas mais altas, um maiornumeradorSeria melhor (por exemplo, para 20%, o uso de 76 para obter 3,8 anos seria de apenas 0,002, onde o uso de 72 GET 3,6 seria de cerca de 2,002 de folga).72 é uma aproximação razoável nessa faixa e é facilmente divisível por muitos números.A regra de 72 é apenas uma aproximação precisa para uma faixa de taxa de juros (de 6% a 10%).Fora desse intervalo, o erro varia de 2,4% a 14,0%.Acontece que, a cada três pontos percentuais de 8%, o valor 72 pode ser ajustado em 1.

(aproximadamente)

(aproximadamente)

Composição contínua

Para composição contínua, a derivação é mais simples:

implica

ou

Usando 100R para obter porcentagens e tomar 70 como uma aproximação próxima o suficiente para 69.3147:

Citação:http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72

Para uma discussão sobre o erro de aproximação que você recebe da regra de 72, verhttp://mathworld.wolfram.com/Ruleof72.html